Rigidity conditions for the boundaries of submanifolds in a Riemannian manifold

В процессе развития идей академика А. Д. Александрова первым автором был предложен следующий подход к изучению проблем жесткости для краёв $C^0$-подмногообразий в некотором гладком римановом многообразии. Пусть $Y_1$ представляет собой двумерное компактное связное $C^0$-подмногообразие с непустым краем в некотором гладком двумерном римановом многообразии $(X,g)$ без края. Рассмотрим внутреннюю метрику (инфимум длин путей, соединяющих данную пару точек) внутренности $\mathop{\rm Int} Y_1$ многообразия $Y_1$ и продолжим ее по непрерывности (операцией $\varliminf$ ) на краевые точки $\partial Y_1$. В настоящей статье рассматривается вопрос о жесткости, т.е. когда указанная метрика определяет $\partial Y_1$ с точностью до изометрии в объемлющем пространстве $(X,g)$. Рассматривается также случай $\dim Y_j = \dim X = n$, $n > 2$.