Idempotent values of commutators involving generalized derivations

В настоящей статье мы характеризуем обобщенные дифференцирования и левые мультипликаторы первичных колец, включающие коммутаторы с идемпотентными значениями. А именно, мы доказываем, что если первичное кольцо характеристики, отличной от $2$, допускает обобщенное дифференцирование $G$ с ассоциативным ненулевым дифференцированием $g$ кольца $R$ такое, что $[G(u),u]^{n}=[G(u),u]$ для всех $u\in\{[x,y]:x,y\in L\},$ где $L$ — нецентральный идеал Ли $R$, а $n > 1$ — фиксированное целое число, то выполняется одно из следующих утверждений:

• $R$ удовлетворяет $s_4$ и существует $\lambda \in$C, расширенный центр тяжести $R$, такой, что $G(x)=ax+xa+\lambda x$ для всех $x \in R$, где $a \in U$, фактор-кольцо Утуми кольца $R$,
• существует $\lambda \in C$, такое, что $G(x)=\gamma x$ для всех $x \in R$.

В качестве приложения опишем строение левых мультипликаторов первичных колец, удовлетворяющих условию $([T^m (u),u] )^{n}=[T^m (u),u]$ for all $u\in \{[x,y]: x,y\in L\},$ где $m,n>1$ — фиксированные целые числа. В заключение приведем пример, показывающий, что условие нашей основной теоремы не является избыточным.