The truncated Fourier operator. General results

Пусть $\mathcal F$ – одномерный оператор Фурье–Планшереля, а $E$ – подмножество действительной оси. Усеченным оператором Фурье называется оператор $\mathcal F_E$ вида $\mathcal F_E=P_E\mathcal F P_E$, где $(P_Ex)(t)=\mathbf 1_E(t)x(t)$, а $\mathbf 1_E(t)$ – индикатор множества $E$. Обсуждаются основные свойства оператора $\mathcal F_E$,соответствующего множеству $E$. Среди этих свойств имеются следующие:
1) оператор $\mathcal F_E$ имеет нетривиальное нулевое пространство;
2) $\mathcal F_E$ является строго сжимающим;
3) $\mathcal F_E$ является нормальным оператором;
4) $\mathcal F_E$ является оператором Гильберта–Шмидта;
5) $\mathcal F_E$ является ядерным оператором.