Step-initial function to the mKdV equation: hyper-elliptic long-time asymptotics of the solution

Рассматривается модифицированное уравнение КдФ на всей прямой с начальным условием типа ступеньки, которая равна константе $c_l$ при $x<0$ и другой константе $c_r$ при $x\geq0$. При этом выполняется условие $c_l>c_r>0$, что обеспечивает режим «гидродинамической волны сжатия» при $t\to\infty$. Цель статьи — изучение асимптотического поведения решения начально-краевой задачи, когда $t\to\infty$. Используя метод наискорейшего спуска, мы деформируем исходную матричную задачу Римана–Гильберта к точно решаемым модельным формам и показываем, что решение начально-краевой задачи имеет разное асимптотическое поведение в различных областях $xt$-плоскости. В областях $x<-6c_l^2t+12c_r^2t$ и $x>4c_l^2t+2c_r^2t$ главные члены асимптотики решения равны $c_l$ и $c_r$ соответственно. В области $(-6c_l^2+12c_r^2)t<x<(4c_l^2+2c_r^2)t$ асимптотика решения принимает вид модулированной гиперэллиптической волны, генерируемой алгебраической кривой рода 2.