Экстpемальные задачи для повеpхностей ограниченной абсолютной средней интегральной кривизны в $n$-меpном пpостpанстве

Доказан ряд неравенств, связывающих абсолютную среднюю интегральную кривизну гиперповерхности в $n$-мерном евклидовом пространстве с объемом и диаметром $n$-мерного тела. Центральную роль играет лемма о минимальности меры множества $(n-1)$-мерных плоскостей, которой обладает гиперсфера в множестве замкнутых гиперповерхностей, ограничивающих тела фиксированного объема.