Устойчивость решений уравнений Минковского и Брунна

Доказаны следующие теоремы устойчивости решений уравнений Минковского и Брунна.
Теорема 1. Если
$$ V_1^n(A, X)-V(X)V^{n-1}(A)<\varepsilon, \ \ 0\leq\varepsilon<\varepsilon_0, \ \ V(X)=V(sA), \ \ s>0, $$
то $\delta(sA, X)<C\varepsilon^{1/n}$.
Теорема 2. Если
$$ V^{1/n}(H_{\frac{1}{2}})-\frac{1}{2}V^{1/n}(A)-\frac{1}{2}V^{1/n}(X)<\varepsilon, \ \ 0\leq\varepsilon<\varepsilon_0, \ \ V(X)=V(sA), \ \ s>0, $$
то $\delta(sA, X)<C\varepsilon^{1/n}$.
В этих теоремах $A$ и $Х$ — выпуклые тела в $R^n$, $V(A)$ — объем $A$, $V_1(A, X)$ — первый смешанный объем $A$ и $Х$, $H_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}X$, $\delta(sA, X)$ — отклонение тел $sA$ и $Х$, $С$ и $\varepsilon_0$ определяются заданием $s$, $n$, $r_A$ и $R_A$ ($r_A$ и $R_A$ — радиусы вписанного в $A$ и описанного около $A$ шаров).