On $q$-analogues of certain prehomogeneous vector spaces: comparison of several approaches

Существует несколько подходов к построению $q$-аналогов предоднородных векторных пространств коммутативного параболического типа. В настоящей работе сравниваются три подхода, развитые Х. П. Джакобсеном, T. Taнисаки и др., Л. Ваксманом и др. В рамках этих трех подходов решена следующая задача: построен $q$-аналог алгебры ${\mathbb C}[V]$ голоморфных полиномов на произвольном неприводимом предоднородном векторном пространстве $V$ (коммутативного параболического типа), и, более того, соответствующая (некоммутативная) алгебра наделена структурой $U$-модульной алгебры, где $U$ — некоторая квантовая универсальная обертывающая алгебра. Мы доказываем, что три $q$-аналога алгебры ${\mathbb C}[V]$ изоморфны как $U$-модульные алгебры.
Для простоты рассматривается только случай, когда $V$ — пространство комплексных матриц второго порядка. Но приводимое доказательство переносится на случай произвольного неприводимого предоднородного векторного пространства коммутативного параболического типа.