A question by Alexei Aleksandrov and logarithmic determinants

Построена аналитическая функция $f$, принадлежащая классу Смирнова в единичном круге, такая что $\mathrm{Re}\,f=0$ почти всюду на единичной окружности и
$$ \liminf_{t\to\infty} t\operatorname{meas}\{\zeta:\,\zeta|=1,\ |f(\zeta)|\ge t\}=0. $$
Этот пример дает отрицательный ответ на вопроос А. Александрова. Также найдены новые достаточные условия представимости функций из класса Смирнова интегралами Шварца и Коши. Эти условия усиливают один результат А. Александрова.