Weak topology and properties fulfilled almost everywhere

Пусть $B$ — банахово пространство. Последовательность $B$-значных функций $\langle f_n \rangle$ слабо почти всюду сходится к $0$, если $x^*\circ f_n$ почти всюду сходится к $0$ для каждого непрерывного линейного $x^*$ на $B$. Банахово пространство конечномерно тогда и только тогда, когда каждая слабо почти всюду сходящаяся к $0$ последовательность $B$-значных функций почти всюду ограничена. Если $B$ — сепарабельно, $B^*$ является сепарабельным тогда и только тогда, когда каждая слабо почти всюду сходящаяся к $0$ и почти всюду ограниченная последовательность $B$-значных функций слабо сходится к $0$ почти всюду.