О возможном ухудшении гладкости при операции свертки

Пусть $\mu$ — вполне конечная борелевская (неотрицательная) мера на вещественной прямой $\mathbf R$. В статье получены условия на меру $\mu$, необходимые и достаточные для того, чтобы существовала целая функция $p$, неотрицательная и интегрируемая на вещественной оси, такая что
\begin{equation} \operatorname{ess\,sup}\{(p\ast\mu)(x):x\in I\}=\infty \text{ для любого интервала } I\subset\mathbf R. \tag{1} \end{equation}
Получены условия на меру $\mu$, достаточные для существования целой функции $p$ заданного роста в комплексной плоскости (в частности, целой конечного порядка $\varrho>1$), неотрицательной и интегрируемой на вещественной оси и удовлетворяющей условию (1).