Об интеграле Вебера–Шафхейтлина

Пусть $L_{\lambda}^{p}$ — пространство функций на полуоси с нормой $\|f\|_{p,\lambda}^p=\int_0^\infty|f(x)|^p x^{-\lambda}\,dx$. В работе рассмотрены операторы $A_{\mu}$ мультипликативной свертки с функцией Бесселя $A_{\mu}f(x)=\int_0^\infty J_{\mu}(xt)f(t)t^{-\lambda}\,dt$ и установлены их следующие свойства. Операторы $A_{\mu}$, $\mu\geq 0$, ограничены в $L^{2}(\lambda)$, $-1\leq \lambda\leq 1$. $A_{\mu}$, $\mu>0$, ограничены в $L_{\lambda}^{p}$, $1\leq p\leq\infty$, но $A_{0}$ не ограничен в $L_{1}^{p}$, $1\leq p\leq \infty$. Операторы $A_{\mu}$ не ограничены в $ L_{\lambda}^{p}$, $p\not= 2$, $-1\leq \lambda < 1$. При определенных соотношениях между величинами $(\mu, \nu, \lambda, p)$ произведения $A_{\nu}A_{\mu}$ ограничены в $L_{\lambda}^{p}$.