Фактор-представления группы $GL(\infty)$ и допустимые представления $GL(\infty)^X$

Статья является первой из трех частей работы, в которой изучаются фактор-представления типа III группы $GL(\infty)$. Пусть $\mathfrak A$ — конечномерная комплексная алгебра с единицей ${\mathbf 1}_{\mathfrak A}$, $G(\mathfrak A )$ — группа всех бесконечных обратимых матриц со значениями в $\mathfrak A$. Здесь получена полная классификация унитарных представлений $G(\mathfrak A)$, сферических относительно унитарной подгруппы $U(\infty)\subset GL(\infty)=G(\mathbb{C}{\mathbf 1}_{\mathfrak A})\subset G(\mathfrak A)$. С каждым из них связан класс фактор-представлений $\Pi$ группы $GL(\infty)$, обладающих тем свойством, что в пространстве представления $H_{\Pi}$ существует ненулевой вектор $\xi$, для которого $\varphi(g)=(\Pi(g)\xi,\xi)=\varphi(ugu^*)$ при всех $u\in U(\infty)$. В следующих частях будет дано полное описание представлений, удовлетворяющих этому условию.