Усреднение гармонических 1-форм на псевдоримановых многообразиях сложной микроструктуры

Рассматриваются 4-мерные многообразия $\tilde M_\varepsilon^4=\mathbf R\times M_\varepsilon^3$, где $M_\varepsilon^3$ — римановы многообразия сложной микроструктуры, состоящие из двух экземпляров пространства $\mathbf R^3$ с большим числом дырок, попарно соединенных посредством тонких трубок. Изучается асимптотическое поведение гармонических $1$-форм на $\tilde M_\varepsilon^4$ при $\varepsilon\to 0$, когда общее число трубок на $M_\varepsilon^3$ неограниченно растет, а их радиусы стремятся к нулю. Получены усредненные уравнения на $\mathbf R^4$, описывающие главный член асимптотик. Также получен результат усреднения решения задачи Коши для волнового уравнения на $\tilde M_\varepsilon^4$ при $\varepsilon\to 0$.