Основное состояние квантовой частицы в потенциальном поле

Исследуется решение уравнения Шредингера для основного состояния частицы в потенциальном поле. Так как волновые функции основного состояния не имеют узлов, оказывается возможным однозначно определить потенциалы разных типов. Выяснилось, что для широкого круга модельных потенциалов энергия основного состояния равна нулю. Более того, нулевой уровень может быть единственным уровнем на границе сплошного спектра. Рассмотрены потенциалы типа “воронок”, имеющие монотонную зависимость от координат, для случая одного, двух и трех измерений. В одномерном случае интересны потенциалы “инстантонного” типа с двумя точками равновесия частицы. Для кулоновского потенциала энергия основного состояния устойчива к его экранировке, как на больших, так и на малых расстояниях. Найдены двухсолитонные решения нелинейного уравнения Шредингера. Аргументирована эффективность предлагаемого “метода обратной задачи” для исследования решений дифференциальных уравнений.