Некоторые точные решения уравнения локальной индукции для движения вихря в бозе-конденсате с гауссовым профилем плотности

Рассмотрена динамика вихревой нити в бозе-конденсате, равновесная плотность которого во вращающейся с угловой скоростью $\mathbf{\Omega}$ системе координат является гауссовой с квадратичной формой $\mathbf{r}\cdot\hat D\mathbf{r}$. Показано, что уравнение движения нити в приближении локальной индукции допускает класс точных решений в виде прямого вихря $\mathbf{R}(\beta,t)=\beta \mathbf{M}(t) +\mathbf{N}(t)$, где $\beta$ — продольный параметр, $t$ — время. Вихрь скользит по поверхности эллипсоида, что следует из законов сохранения $\mathbf{N}\cdot \hat D \mathbf{N}=C_1$ и $\mathbf{M}\cdot \hat D \mathbf{N}=C_0=0$. Уравнение эволюции касательного вектора $\mathbf{M}(t)$ оказывается замкнутым и имеет интегралы движения $\mathbf{M}\cdot \hat D \mathbf{M}=C_2$, $(|\mathbf{M}| -\mathbf{M}\cdot\hat G\mathbf{\Omega})=C$, где матрица $\hat G=2(\hat I \,\mathrm{Tr}\, \hat D -\hat D)^{-1}$. Пересечение соответствующих поверхностей уровня определяет траектории в фазовом пространстве.