Простой контрпример для $\mathcal{Z}_2$-классификации топологических изоляторов, основанной на соответствии объем–граница

Ранее была предложена так называемая $\mathcal{Z}_2$-классификация топологических изоляторов, основанная на соответствии объем–граница (bulk-boundary correspondence), которая считается общепринятой и сводится к следующим утверждениям: 1) nontrivial $\mathcal{Z}_2$ invariants imply the existence of gapless surface states, 2) the $\mathcal{Z}_2$ invariants can be deduced from the topological structure of the Bloch wave functions of the bulk crystal in the Brillouin zone (L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. B 76, 045302 (2007)). В данной работе приводится простой контрпример для $\mathcal{Z}_2$-классификации. Показано, что при одном и том же объеме, одной и той же пространственной симметрии полубесконечного кристалла и, соответственно, тривиальном значении $\mathcal{Z}_2$-инварианта (тривиальном классе эквивалентности объемного гамильтониана) для 3$\rightarrow$2D-системы на поверхностях могут существовать как топологически устойчивые, так и топологически неустойчивые поверхностные состояния. Более того, топологически устойчивые поверхностные состояния могут существовать как при тривиальном (поверхность Bi(111)), так и при нетривиальном (поверхность Sb(111)) значениях объемного $\mathcal{Z}_2$-инварианта. Данные факты ставят под сомнение утверждение о том, что $\mathcal{Z}_2$-классификация, основанная на соответствии объем–граница, отвечает за появление и топологическую устойчивость поверхностных состояний.