Numerical methods for solving spectral problems on quantum graphs

В настоящее время многие авторы разработали ряд методов позволяющие построения алгоритмов численного решения обратных спектральных задач. Однако большинство методов с вычислительной точки зрения являются малоэффективными, и при их применении возникают серьезные вычислительные трудности. Поэтому разработка новых методов решения спектральных задач, построенных на новых подходах, является актуальной. В данной статье разработаны новые алгоритмы решения прямых и обратных спектральных задач, заданных на квантовых графах. Особую роль в разработанных алгоритмах играют системы собственных значений и собственных функций соответствующей, невозмущенной спектральной задачи, в которой на всех ребрах графа потенциалы равны нулю. Нахождение этих спектральных характеристик, при большом количестве ребер у графа, сталкивается с большими объемами вычислений. Поэтому в среде пакета Maple был написан и зарегистрированный пакет программ, позволяющий находить спектральные характеристики невозмущенных задач, заданных на геометрических графах, любой конфигурации и с любым конечным числом узлов. В статье, методики вычисления собственных значений дискретных и решения обратных задач для полуограниченных операторов, заданных на геометрических графах, проиллюстрированы на примере молекулы антрацена. Ранее, на основе численных методов регуляризованных следов и метода Галеркина, были получены линейные формулы вычисления приближенных собственных значений дискретных полуограниченных операторов, заданных на конечных интервалах. По этим формулам можно находить приближенные собственные значения дискретных операторов с любым порядковых номером, не используя собственные значения с меньшими порядковыми номерами. Это снимает многие вычислительные трудности. Используя данные линейные формулы, разработаны алгоритмы решения прямых и обратных задач заданных на квантовых графах, что представлено в статье. Построенный алгоритм решения обратных спектральных задач, заданных на последовательных геометрических графах с конечным числом звеньев, был апробирован на молекуле антрацена. Он позволяет восстанавливать в узлах дискретизации значения неизвестных функций, входящих в операторы, используя собственные значения операторов и спектральные характеристики соответствующих самосопряженных операторов. Результаты многочисленных экспериментов показали хорошую точность и вычислительную эффективность разработанного метода.