Numerical study of the unique solvability of the Showalter – Sidorov problem for a mathematical model of the propagation of nerve impulses in the membrane

Статья посвящена исследованию существования одного или нескольких решений математической модели распространения нервного импульса в мембране на основе вырожденной системы уравнений Фитц Хью – Нагумо, заданной на некоторой области с гладкой границей или на связном ориентированном графе с начальным условием Шоуолтера – Сидорова. Невырожденная математическая модель распространения нервного импульса в мембранной оболочке является распространенной и исследуется с помощью теории сингулярных возмущений. Особенностью процесса описываемого исследуемой математической модели является то, что скорость изменения одной из компонент системы может значительно превосходить другую, а значит ту из производных скорость которой значительно ниже, можно считать равной нулю. Отсюда и возникает необходимость в исследовании именно вырожденной системы уравнений Фитц Хью – Нагумо. Вырожденная система уравнений Фитц Хью – Нагумо относится к широкому классу полулинейных уравнений соболевского типа. Для исследования существования решений данной системы уравнений будет использован метод фазового пространства, который был разработан Г.А. Свиридюком для исследования разрешимости полулинейных уравнений соболевского типа. Выявлены условия существования и единственности или множественности решений задачи Шоуолтера – Сидорова для исследуемой модели, в зависимости от параметров системы. Полученные теоретические результаты позволили разработать алгоритм численного решения задачи, основанный на модифицированном методе Галеркина. Приведены результаты вычислительных экспериментов.