Numerical analysis of the mixed boundary value problem for the Sophie Germain equation

Уравнение Софи Жермен в вариационном виде рассматривается на плоской ограниченной области при смешанных краевых условиях. Производится продолжение исходной задачи на прямоугольную область по границе с краевыми условиями Дирихле. Производится дискретизация продолженной задачи с помощью метода конечных элементов. Приводится метод фиктивных компонент, который для абсолютной ошибки имеет скорость сходимости как у геометрической прогрессии. Для численного решения продолженной задачи используется метод итерационных расширений получающийся как обобщение метода фиктивных компонент. Метод итерационных расширений для относительной ошибки имеет скорость сходимости как у геометрической прогрессии в более сильной норме, чем энергетическая норма задачи. Выбор итерационных параметров проводится на основе метода минимальных невязок. Приводится алгоритмическая реализация метода итерационных расширений с автоматическим выбором итерационных параметров. В алгоритме приводится критерий и для автоматической остановки итерационного процесса при достижении заданной оценки относительной ошибки. При программной реализация этого алгоритма не требуется дополнительных усложнений связанных со сложностью геометрии области, порядком дифференциального уравнения и наличием краевых условий Дирихле. Рассматривается пример расчетов по методу итерационных расширений при численном решении частной задачи. При счете используется условие выполнения оценки для относительной ошибки в более сильной норме, чем норма порождаемая оператором задачи. Но рассматриваются относительные ошибки для полученного численного решения примера у исходной задачи еще и другими способами. Например, проводится поточечное вычисление относительной ошибки по узлам сетки. Получается, что нескольких итераций достаточно, что бы иметь относительную ошибку только в несколько процентов даже при различных способах ее вычисления. Вычислительные эксперименты на практике подтверждают оптимальность метода, указанную в теории.