Dichotomies of solutions to the stochastic Ginzburg – Landau equation on a torus

Рассматривается стохастический аналог уравнения Гинзбурга – Ландау в пространствах дифференциальных форм, заданных на двумерном гладком компактном ориентированном многообразии без края. При изучении устойчивости решений уравнение Гинзбурга – Ландау рассматривается как частный случай стохастического линейного уравнения соболевского типа. Все рассмотрения проводятся в пространствах $K$-величин и $K$-«шумов» на многообразии. В качестве многообразия рассматривается двумерный тор, являющийся ярким примером гладкого компактного ориентированного многообразия без края. При определенных условиях, накладываемых на коэффициенты уравнения, доказывается существование устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений. Разработан алгоритм для иллюстрации полученных результатов. Так как существует гладкий диффеоморфизм между картой и многообразием, то от рассмотрения устойчивости решений на двумерном торе переходим к рассмотрению данного вопроса на одной из его карт. Разработанный алгоритм реализован в программной среде Maple. Результаты работы представлены в виде графиков устойчивых и неустойчивых решений, которые получаются при различных значениях параметров уравнения Гинзбурга – Ландау.