О применении непрерывного операторного метода к решению прямой задачи для нелинейных параболических уравнений

Актуальность и цели. Дифференциальные уравнения математической физики, относящиеся к параболическому типу, играют одну из центральных ролей в математическом моделировании самых различных процессов в физике и технике. В частности, параболические уравнения широко используются при моделировании процессов диффузии, динамики жидкостей и газов, а также биологических и экологических явлений. Эти уравнения встречаются в задачах тепло- и массопереноса, теории горения, теории фильтрации и т.д. Вместе с тем, несмотря на достаточно большое число известных результатов в области приближенного решения параболических уравнений, имеется большая практическая потребность в разработке эффективных численных методов решения нелинейных уравнений параболического типа, которые, будучи достаточно простыми, являлись бы устойчивыми к возмущениям исходных данных, допуская при этом применение к максимально широкому классу уравнений.
Материалы и методы. Предметом исследования данной работы является задача Коши для одномерного нелинейного параболического уравнения. Ставится задача построения численного метода решения упомянутой задачи. Для этого выполняется переход от исходной задачи Коши для параболического дифференциального уравнения к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра. Для решения этого уравнения привлекается непрерывный операторный метод решения нелинейных уравнений: выполняется переход к вспомогательной системе интегродифференциальных уравнений специального вида, которая далее решается при помощи одного из численных методов решения дифференциальных уравнений. Результатом применения метода является набор приближенных значений неизвестной функции в узлах равномерной сетки, построенной в конечной области.
Результаты. Предложен численный метод решения задачи Коши для одномерного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. Значимость этого метода обусловлена его простотой в сочетании с универсальностью, позволяющей применять единый алгоритм для весьма широкого класса нелинейностей.
Выводы. Предложен эффективный итерационный метод решения задачи Коши для нелинейного одномерного дифференциального уравнения параболического типа. Значительный теоретический и практический интерес представляет распространения этого метода на краевые задачи, а также на многомерные уравнения.