Особые решения уравнений типа Клеро в частных производных с обратными тригонометрическими функциями

Актуальность и цели. Задача нахождения особых (сингулярных) решений дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных представляет интерес при изучении различных преобразований нелинейных уравнений математической физики таких, например, как преобразования Лежандра. Уравнения данного типа являются значимыми в прикладных задачах теоретической физики. Например, в квантовой теории поля существует связь особого решения уравнения типа Клеро с эффективным действием для составных полей. В теории с составными полями однопетлевое эффективное действие определяется уравнением, содержащим неизвестный функционал и его вариационные производные, которое имеет вид уравнения типа Клеро. Целью настоящей статьи является нахождение условия существования особых решений для дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных, а также получение сингулярных решений для обратных тригонометрических функций. Поиск особых решений уравнений типа Клеро в частных производных для конкретных функций остается мало изученным и является перспективным научным направлением.
Материалы и методы. Представлен метод отыскания сингулярных решений уравнения типа Клеро в частных производных со специальным видом зависимости функции от частных производных на примере обратных тригонометрических функций. Суть метода заключается в сведении задачи нахождения частных производных искомой функции к задаче нахождения сверток частных производных искомой функции с фиксированными параметрами. Описанный метод применим для нахождения сингулярных решений уравнений типа Клеро, когда функция от производных искомой функции имеет специальный вид.
Результаты. Сформулирован критерий существования сингулярного решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой обратные тригонометрические функции от линейных комбинаций частных производных. Полученные в настоящей работе сингулярные решения вычислены для случая произвольного количества переменных и являются основными результатами работы. Отмечается, что во всех рассмотренных случаях для данного выбора функции в уравнении удается разрешить систему уравнений, определяющую особое решение.
Выводы. Дифференциальные уравнения типа Клеро представляют собой нелинейные уравнения в частных производных первого порядка и являются обобщением известного обыкновенного дифференциального уравнения Клеро. В работе описана проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой одну из обратных тригонометрических функций. Обсуждаются условия существования особых решений и структура функции от производных, для которой описанный метод применим. Из курса дифференциальных уравнений известно, что сингулярные решения уравнений типа Клеро в частных производных не всегда существуют. Поэтому вопрос о нахождении конкретных функций от частных производных в уравнении, для которых особые решения существуют, остается открытым и представляет собой перспективное направление для дальнейшего изучения.