К вопросу о единственности решений вырожденных сингулярных интегральных уравнений

Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных сингулярных интегральных уравнений. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Исключением являются сингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что, во-первых, вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений; во-вторых, для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Но конкретные алгоритмы и приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными сингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве $L_{2}$ функций суммируемых в квадрате вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений, а также не менее актуальная задача построения приближенных методов их решения.
Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы.
Результаты. Построены классы функций, на которых решения, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций.
Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные полисингулярные интегральные уравнения.