Приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях

Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, и построению приближенных методов решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Одними из исключений являются сингулярные и полисингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений и для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Для полисингулярных интегральных уравнений подобная теория еще не построена. Более того, конкретные алгоритмы и приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными полисингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве функций, суммируемых в квадрате, вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений. Не менее актуальной является задача построения приближенных методов решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений.
Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы.
Результаты. Построены классы функций, на которых решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка задачи решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения, вырожденных полисингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций.
Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные многомерные сингулярные интегральные уравнения.