Численное восстановление начального условия в задачах Коши для линейных параболических и гиперболических уравнений

Актуальность и цели. Теория решения обратных задач математической физики является одним из наиболее активно развивающихся разделов современной математики. Интерес исследователей к таким задачам обусловлен в первую очередь большим количеством их приложений, появившихся в последние годы в связи с бурным развитием физики и техники. Несмотря на большое количество методов решения обратных задач, в настоящее время по-прежнему велика потребность в дальнейшей разработке новых методов решения, учитывающих некорректность ряда обратных задач. В данной работе предлагаются численные методы решения одного класса обратных задач, а именно задач восстановления начальных условий для уравнений параболического и гиперболического типов.
Материалы и методы. Методика построения численных методов решения задач восстановления начальных условий для линейных параболических и гиперболических уравнений заключается в следующем. По известным формулам обобщенного решения линейных параболических и гиперболических уравнений выполняется переход к эквивалентным исходным задачам линейным интегральным уравнениям первого рода, которые затем решаются приближенно при помощи непрерывного операторного метода. Для этого составляется и решается вспомогательная система линейных дифференциальных уравнений, которая затем решается численным методом Эйлера. При этом на численных примерах показывается, что за счет подходящего числа шагов метода Эйлера может быть достигнута (в случае необходимости) регуляризация решения задачи. Сходимость метода обосновывается в терминах теории устойчивости решения дифференциальных уравнений.
Результаты. Построены численные методы приближенного решения задачи о восстановлении начального условия для линейных параболических и гиперболических уравнений. Авторам удалось успешно применить непрерывный операторный метод к решению вышеупомянутой задачи. Решение ряда модельных примеров показало эффективность предложенных результатов.
Выводы. Предложены эффективные численные методы решения одного класса обратных задач математической физики, а именно задачи восстановления начального условия в задачах Коши для линейных уравнений гиперболического и параболического типов. На численных примерах показано, что непрерывный операторный метод с успехом может быть применен к решению указанных типов обратных задач математической физики.