О единственности решения уравнения Гахова для функций из классов Яновского

Пусть $\Delta=\{(\alpha,\beta)\in R^2 : \alpha+\beta >0,\alpha\leq1,\beta\leq1\}$ и $(\alpha,\beta)\in\Delta$. Класс Яновского $S^*[\alpha,\beta]$ есть класс функций f, голоморфных в $D$ и таких, что $f(0)=f'(0)-1=0$ и $\zeta f'(\zeta)/f(\zeta)\prec(1+\beta\zeta)/(1-\alpha\zeta)$, $\zeta \in D$. Пусть $\tilde{S}^*[\alpha,\beta]$ – подкласс с условием $f''(0)=0$, задающим нулевой корень уравнения Гахова $f''(\zeta)/f'(\zeta)=2\bar{\zeta}/(1-|\zeta|^2)$. Область единственности для семейства $\tilde{S}^*[\alpha,\beta]$, $(\alpha,\beta)\in\Delta$, есть множество $\tilde{\Delta} \subset \Delta$ такое, что для любых $(\alpha,\beta)\in \tilde{\Delta}$ и $f\in\tilde{S}^*[\alpha,\beta]$ уравнение Гахова имеет единственный корень. Найдена максимальная (по включению) область единственности для семейства $\tilde{S}^*[\alpha,\beta]$, $(\alpha,\beta)\in\Delta$. Пусть $\Delta'=\Delta'_0 \cup \Delta_1 \cup \Delta'_2$, где $\Delta'_0=\{(\alpha,\beta) \in \Delta : |2\beta-3\alpha| \leq 3, 3(\alpha+\beta)\leq 2\}$, $\Delta_1=\{(\alpha,\beta) \in \Delta : 2\beta-3\alpha > 3\}$ и $\Delta'_2=\{(\alpha,\beta) \in \Delta : 2\beta-3\alpha < -3, \alpha<\alpha(\beta),\beta \in(-1,-1/5)\}$, а $\alpha(\beta)=1-(1-\beta)^3/[(1+\beta)^2-16\beta]$, $\beta \in (-1,0)$. Теорема. Множество является максимальной областью единственности для семейства классов $\tilde{S}^*[\alpha,\beta]$, $(\alpha,\beta)\in\Delta$. Таким образом, дано полное и окончательное решение проблемы, поставленной и частично решенной А. В. Казанцевым в 1998 г. Получена двупараметрическая серия условий единственности; установлено новое свойство известных классов однолистных функций. Метод доказательства основан на применении леммы Шварца, вычислении неулучшаемой постоянной в оценке левой части уравнения Гахова и анализе зависимости указанной постоянной от параметров.