Алгоритм исследования моделей нелинейной динамики

Актуальность и цели. В настоящее время многие реальные процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В связи с этим одной из важнейших проблем, возникающих в задачах математического моделирования, является проблема исследования устойчивости состояний равновесия и изучения асимптотических свойств решений таких систем. Для описания различных процессов и исследования динамических систем необходим математический аппарат, связанный с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Поэтому появляется необходимость в развитии методов исследования таких систем и создании новых эффективных методов анализа. Возникает задача качественного анализа нелинейных систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования. Важную роль в решении этой задачи играет разработка математических методов исследования систем. Целями данной работы являются: построение алгоритма исследования систем уравнений вольтерровского вида методом сравнения; качественное исследование математических моделей вольтерровского типа, основой которых являются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений; проведение численного эксперимента на основе алгоритма исследования систем уравнений вольтерровского вида. Материалы и методы. Математические модели нелинейной динамики исследуются методом сравнения Е. В. Воскресенского, который представляет собой обобщение метода функций Ляпунова и является эффективным методом исследования динамических процессов. В настоящей работе нелинейные дифференциальные уравнения исследуются следующим образом. Для исходного уравнения строится уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Далее через эталонную функцию сравниваются решения двух этих уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции сравнения дает возможность для решения самых различных задач качественной теории дифференциальных уравнений, исследования поведения решений дифференциальных уравнений и, что самое важное, позволяет решать задачи теории устойчивости в критических случаях. Результаты. Разработан алгоритм исследования систем уравнений вольтерровского вида методом сравнения. Проведено качественное исследование математических моделей вольтерровского типа методом сравнения. Выводы. Построен вычислительный алгоритм с использованием метода сравнения, разработанного Е. В. Воскресенским. Представленный алгоритм реализован для конкретной модели вольтерровского типа. Сделаны выводы об асимптотической устойчивости системы уравнений по отношению к части переменных. Данные результаты исследований устойчивости модели «хищник-жертва», полученные методом сравнения Е. В. Воскресенского, аналогичны выводам, представленным авторами Yuеjiаn Jiе, Yuаn Yuаn.