Оператор Тачибаны

Актуальность и цели. Рассмотрены лапласиан Ходжа - де Рама и оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Если изучение собственных значений и, вообще, свойств первого из операторов можно отнести к классике римановой геометрии, то второй оператор был введен в рассмотрение сравнительно недавно первым из авторов. Этот оператор является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм, имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны, по аналогии с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа - де Рама. Ранее авторами были установлены свойства чисел Тачибаны и их связь с числами Бетти компактного риманова многообразия. Так, в частности, были получены «нижние границы» для первых собственных значений лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на компактном конформно плоском римановом многообразии четной размерности со знакоопределенной скалярной кривизной. Цель исследования - с помощью оператора Тачибаны получить необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы, а также найти первые собственные значения лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны и установить их кратность. Материалы и методы. Объектом исследования является малоизученный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, действующий на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Используются методы классической тензорной геометрии и теории дифференциальных операторов на многообразиях. Результаты. В предлагаемой статье с помощью оператора Тачибаны получены необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы, которые обобщают уже известные их характеристики, принадлежащие К. Яно, а также найдены первые собственные значения лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны и установлена их кратность.