Об эластичных три-тканях с тензором кручения ранга 1

Актуальность и цели. Многомерные три-ткани, образованные на гладком многообразии тремя слоениями одинаковой размерности, являются геометрической интерпретацией функций двух переменных и имеют многочисленные приложения, в частности, в теории дифференциальных уравнений, в теоретической физике и в теории квазигрупп и луп. Одними из наименее изученных классов три-тканей являются эластичные три-ткани (ткани E), соответствующие изотопически инвариантному классу луп с тождеством эластичности (xy)x=x(yx). Целью данной работы является исследование эластичных три-тканей, у которых производная алгебра от алгебры, определяемой тензором кручения, является одномерной. Материалы и методы. Для исследования три-тканей E используется метод внешних форм и подвижного репера Эли Картана, модифицированный Г. Ф. Лаптевым. В статье используются структурные уравнения, полученные с помощью этого метода. Результаты. Найдена система структурных уравнений, определяющая этот класс тканей, доказана ее замкнутость относительно внешнего дифференцирования. Таким образом, доказано, что нетривиальные эластичные ткани с тензором кручения ранга 1 существуют. Найдены соотношения на тензоры этой ткани и доказано, что существует адаптированный репер, в котором тензор кривизны также имеет ранг 1, причем производные алгебры от алгебр, определяемых тензорами кручения и кривизны, лежат в одном одномерном пространстве. Выводы. Метод Картана - Лаптева позволяет эффективно исследовать специальные классы многомерных три-тканей.