Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (Часть I. Функции одной переменной)

Актуальность и цели. Среди ряда важных проблем вычислительной математики можно сформулировать две проблемы: вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко на классе $Q_r(\Omega, M)$; построение ненасыщаемых методов аппроксимации компактов функций. Вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$, являющиеся обобщением класса функций $Q_r(\Omega, M)$; построены оптимальные по порядку методов приближения этих классов; построены ненасыщаемые алгоритмы аппроксимации этих же классов. Точность ненасыщаемых алгоритмов отличается от точности оптимальных множителей $O(ln^\alpha n)$, где $n$ - число функционалов, используемых при построении алгоритма, $\alpha$ - некоторая константа. Классам функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$. $Q^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$ принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Материалы и методы. Вычисление поперечника Колмогорова основано на оценке снизу поперечника Бабенко, оценке сверху поперечника Колмогорова и на использовании леммы, устанавливающей связь между этими поперечниками. Для оценки сверху поперечника Колмогорова строятся локальные сплайны, которые являются оптимальными методами приближения классов функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$. Результаты. Построены оптимальные методы аппроксимации классов функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega, M)$, которые могут быть положены в основу эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Выводы. Построенные в работе сплайны могут быть положены в основу конструирования эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.