Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей

Актуальность и цели. Проблема продолжения потенциальных полей возникает во многих областях физики и техники: в геофизике - при продолжении полей, измеренных на поверхности Земли, в глубь Земли; в метеорологии - при определении границ атмосферных полей; в дефектоскопии - для исследования внутренних свойств материалов без их разрушения и в ряде других областей. Несмотря на то, что для этих задач предлагаются различные методы, все они, как правило, сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, которые являются некорректными задачами. Применение классических разностных методов невозможно, как показали численные эксперименты, из-за их неустойчивости. Так как разностные схемы обладают простотой и быстродействием, представляет значительный интерес построение специальных устойчивых схем. Данная статья посвящена построению устойчивых разностных схем продолжения потенциальных полей. Материалы и методы. В основу построения разностных схем и продолжения потенциальных полей положены оптимальные методы аппроксимации потенциальных полей, принадлежащих классам функций $Q_{r,\gamma}(\Omega, M), B_{r,\gamma}(\Omega, M)$, где $\Omega$ - область, в которую продолжается поле. Узлы локальных сплайнов, являющихся оптимальными методами приближения функций классов $Q_{r,\gamma}(\Omega, M), B_{r,\gamma}(\Omega, M)$, взяты в качестве узлов разностных схем. Результаты. Построены устойчивые разностные схемы, являющиеся эффективным методом продолжения потенциальных полей. Выводы. Доказана возможность продолжения потенциальных полей разностными методами.