О перечислении максимальных бесконечно-порожденных классов 01-функций трехзначной логики

Актуальность и цели. Операция суперпозиции является основной операцией при исследовании функций многозначной логики. На базе этой операции определяются классификации функций многозначной логики, позволяющие решать важные проблемы выразимости и полноты. Однако если для булевых функций (функций двузначной логики) эти проблемы давно решены, то, например, для функций $k$-значной логики (при $k\geqslant3$) проблема описания всех замкнутых классов, по-видимому, не может иметь удовлетворительного решения - в этом случае число замкнутых классов континуально. В связи с этим исследования по замкнутым (относительно операции суперпозиции) классам функций $k$-значной логики развиваются в направлении описания различных фрагментов решетки замкнутых классов: максимальных и минимальных классов, верхних и нижних конусов, конечных и счетных интервалов, определяемых содержательно интересными классами, и т.п. Одна из задач данного направления, поставленная С. В. Яблонским в начале 1980-х гг., - описать все максимальные бесконечно-порожденные классы решетки замкнутых классов. В 1986 г. Е. А. Михеева и Г. Тардош нашли примеры таких максимальных классов: Е. А. Михеева - при любом $k\geqslant3$, Г. Тардош - при $k=8$. Идеи Тардоша в дальнейшем развивала О. С. Дудакова. Вместе с тем при фиксированных $k$ определить серии максимальных бесконечно-порожденных классов пока не удалось. В 2019 г. автор опубликовал статью, где в трехзначной логике определены $4$ максимальных бесконечно-порожденных класса $\Pi_1-\Pi_4$, которые состоят из функций, принимающих лишь значения $0$ и $1$ (такие же классы можно определить для функций, принимающих значения $0,2$ и $1,2$). Таким образом, появилась серия из $12$ максимальных бесконечно-порожденных классов. Есть все основания полагать, что классами $\Pi_1-\Pi_4$ исчерпываются все максимальные бесконечно-порожденные классы 01-функций. Доказать этот факт можно по следующей схеме. Сначала для каждого класса $П_i$ следует определить все «простейшие» функции от двух или трех переменных, которые получаются суперпозициями из произвольной функции, не принадлежащей классу $\Pi_i$. Затем необходимо перебрать всевозможные четверки «простейших» функций и с использованием известных достаточных условий конечной порождаемости установить конечную порождаемость замкнутых классов, содержащих выбранные четверки функций. Материалы и методы. В построениях и доказательствах используются методы теории функциональных систем. Результаты и выводы. Рассматривается класс $\Pi$-функций трехзначной логики, принимающих только значения $0$ и $1$. В классе $\Pi$ определены $4$ бесконечно-порожденных класса $\Pi_1-\Pi_4$, которые обладают свойством максимальности: всякий замкнутый класс из $\Pi$ собственным образом содержащий любой из классов $\Pi_1-\Pi_4$, является конечно-порожденным. Для каждого класса $\Pi_i$ и произвольной функции $f$ не принадлежащей $\Pi_i$ и существенно зависящей не менее чем от двух переменных, определяются все «простейшие» функции от двух или трех переменных, которые получаются суперпозициями функции $f$ и которые не входят в класс $\Pi_i$. В дальнейшем все эти функции предполагается использовать для доказательства того, что в классе $\Pi_i$ все максимальные бесконечно-порожденные классы исчерпываются классами $\Pi_1-\Pi_4$. Подобное доказательство ориентировочно должно заключаться в анализе нескольких тысяч четверок, состоящих из полученных «простейших» функций.