Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (Часть II. Функции многих переменных)

Актуальность и цель. В статье К. И. Бабенко «О некоторых задачах теории приближений и численного анализа» [1] среди ряда важных проблем вычислительной математики были сформулированы две проблемы: 1) вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко на классе $Q_r(\Omega,M)$ (класс $Q_r(\Omega,M)$ состоит из функций, имеющих непрерывные производные до r-го порядка в области $\Omega$ и производные до $(2r+1)$-го порядка в области $\Omega \backslash \partial \Omega$, причем модуль производной k-го порядка $(r<k \leq 2r+1)$ оценивается неравенством $\|D^k f\| \leq cl(d(x,\partial \Omega))^{k-r}$, где $d(x,\partial \Omega)$ - расстояние от точки x до $\partial \Omega$ границы области); 2) построение ненасыщаемых методов аппроксимации классов функций. Настоящая работа посвящена вычислению поперечников Колмогорова и Бабенко классов $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ функций многих переменных, являющихся обобщением класса функций $Q_r(\Omega,M)$; построению оптимальных по порядку методов приближения функций этих классов и построению ненасыщаемых алгоритмов аппроксимации, точность которых отличается от точности оптимальных множителем $O(ln^\alpha n)$, где n - число функционалов, используемых при построении алгоритма, $\alpha$ - некоторая константа. Классам функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Материалы и методы. Вычисление поперечника Колмогорова основано на оценке снизу поперечника Бабенко, оценке сверху поперечника Колмогорова и на использовании леммы, устанавливающей связь между поперечниками. Для оценки сверху поперечника Колмогорова строятся локальные сплайны, которые являются оптимальными методами приближения классов функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$. Результаты и выводы. Построены оптимальные методы аппроксимации классов функций $\overline{Q}^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$ и $Q^u_{r,\gamma}(\Omega,M)$, которые могут быть положены в основу эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.