Анализ особенностей системы интегродифференциальных уравнений, описывающих состояние медико-биологических объектов с ионным типом проводимости

Актуальность и цели. Актуальность построения и изучения свойств систем нелинейных интегродифференциальных уравнений характеризуется их возможностью описывать сложные физико-химические (медико-биологические) диссипативные структуры, т.е. так называемые тьюринговые модели. Важным частным случаем таких моделей являются медико-биологические объекты с ионным типом проводимости. Особый практический интерес представляет мониторинг состояния данных объектов в контексте новых возможностей для медицинского исследования и анализа. Многое из направлений мониторинга и исследования математически формулируется в виде обратной коэффициентной задачей. Целью данной работы является теоретический анализ особенностей системы интегродифференциальных уравнений, построенной в ранних работах с учетом специфики моделирования состояния медико-биологических объектов с ионным типом проводимости, а также формулировки обратных задач на их основе. Материалы и методы. Для выделения особенностей рассматриваемой системы нелинейных интегродифференциальных уравнений использовался теоретический и практический материал экспериментальных методов аналитической химии на основе электрохимического анализа (хронопотенциометрия, вольтамперометрия, полярография и т.д.). Учитывалась специфика геометрии электрохимической ячейки (электродов, объемов систем, специальных структур) и режимов процессов измерения, а также протекающих электрохимических реакций. При изучении вопросов моделирования диссипативных структур рассмотрено асимптотическое приближение в виде стационарного случая системы исследуемых уравнений в геометрии плоского конденсатора. Особенности постановки обратной задачи для системы интегродифференциальных уравнений указаны в терминах стандартной теории некорректных задач. Результаты. Проанализирована связь особенностей специфичной геометрии электрохимических ячеек с ключевым интегральным слагаемым системы нелинейных интегродифференциальных уравнений. Обоснована роль исследуемой системы в объединении различных электрохимических и электрофизических эффектов, разбитых за счет существенной локализации их в геометрии электрохимической ячейки. Указаны недостатки моделирования на основе системы для непрерывной среды: нельзя естественным образом ввести процессы сорбции и десорбции частиц на поверхности электродов. Предложен способ, позволяющий частично обойти этот недочет, а также описать зарядовую структуру в объеме электрода и его взаимодействие с ионами электролита. Составлена система с краевыми условиями для простой двухкомпонентной реакции $O+z e^- \frac{\overrightarrow{k_e}} {\overleftarrow{k_e}} R$, включая стационарный случай, с учетом нелинейных членов. Выводы. Одним из важных составляющих в системе уравнений является интегральный член на основе функции Грина, даже упрощенный вид которого позволяет учесть наличие двойного электрического слоя возле поверхности электрода. Его более точное и строгое построение в перспективе связывает систему интегродифференциальных уравнений с эффектом сорбции-десорбции и взаимодействия внутренней структуры электрода с ионами и молекулами электролита. Построенная система уравнений на основе простых примеров химической реакции и геометрии электрохимической ячейки показала, что стационарный предел является случаем диссипативных структур, которые нельзя получить c применением простых линейных уравнений из классического курса электрохимии. Обратная задача для исследуемой системы ставится в стандартной формулировке, однако имеется особенность в виде наличия интегралов в форме Фредгольма, а не с сингулярными и гиперсингулярными ядрами, как следовало из общей функции Грина.