Степенные оценки срезок некоторых несобственных интегралов

Актуальность и цели. Распределение Гаусса естественно возникает во многих приложениях и широко используется в различных теоретических построениях. Важную роль играет и нижняя срезка $Q(x)$ несобственного интеграла от плотности стандартного гауссова распределения. Целью данной работы является получение оценок сверху для произвольной степени функции $Q(x)$ через несобственный интеграл того же вида с нижней границей $ax$ где $a$ - некоторый параметр. Материалы и методы. Для получения необходимых оценок изучалось поведение разности $Q^m(x)-Q(\sqrt{m}x)$ на различных интервалах числовой оси, при этом широко использовались хорошо известные свойства гауссова распределения. Кроме того, были выведены точные неравенства для показательной функции специального вида и получены оценки сверху и снизу функции $Q(x)$. Результаты. В работе показано, что для любого действительного $x$ (при $m>2$) выполняется неравенство $Q^m(x)<Q(ax)$, где $a$ - произвольное число из интервала $[1;\sqrt{m}]$. Кроме того, установлено, что данное неравенство является неулучшаемым по параметру $a$. Так, в статье показано, что правая граница интервала для $a$ не может быть больше $\sqrt{m}$, а левая меньше 1. Выводы. Произвольную степень функции $Q(x)$ можно равномерно оценить сверху через функцию того же вида с аргументом $ax$. Полученные оценки могут быть использованы в социологических и демографических исследованиях, в эконометрике и статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения.