Метод коллокации решения нелинейных спектральных задач для граничных интегральных уравнений Мюллера

Актуальность и цели. Ряд спектральных задач теории оптических волноводов и резонаторов сводится к нелинейным задачам поиска характеристических чисел граничных интегральных уравнений Мюллера. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации. Основные цели настоящей работы: реализация метода коллокации для поиска поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего волновода с кусочно-постоянной диэлектрической проницаемостью, теоретическое доказательство сходимости этого метода. Численное решение исследуемой в работе задачи ранее проводилось методом коллокации на основе интегральных уравнений, построенных методом потенциала простого слоя. Поэтому одна из целей данной работы - выяснить, какой из методов построения интегральных уравнений является более эффективным с практической точки зрения при численном решении поставленной задачи: метод граничных интегральных уравнений Мюллера или метод потенциала простого слоя. Материалы и методы. Доказательство сходимости метода коллокации опирается на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач и теории аппроксимации слабосингулярных интегральных уравнений. Сравнительный анализ практической эффективности метода граничных интегральных уравнений Мюллера и метода потенциала простого слоя проводится на основе численных экспериментов решения модельных задач. Результаты. Доказано, что если решение поставленной задачи существует, то существует последовательность характеристических чисел матрицы метода коллокации, сходящаяся при увеличении числа точек коллокации к точному решению. С другой стороны, если существует сходящаяся последовательность упомянутых выше характеристических чисел, то она сходится к точному решению задачи. Численные эксперименты показали сходимость и устойчивость метода коллокации. Выводы. Метод коллокации является теоретически обоснованным методом решения поставленной задачи с гарантированной сходимостью. Однако дискретизация интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядер предложенным вариантом метода коллокации (метод сплайн-коллокации нулевого порядка) неэффективна для слишком малых шагов сетки. Кроме того, метод потенциалов простого слоя не дает преимущества во времени счета по сравнению с использованием граничных интегральных уравнений Мюллера. Поэтому в силу полной эквивалентности системы граничных интегральных уравнений Мюллера исходной дифференциальной задаче их использование для ее численного решения предпочтительнее.