О задаче нахождения минимальной полугруппы аппроксимации

Актуальность и цели. Предметом исследования являются полугруппы и некоторые предикаты, заданные на этой полугруппе, в частности предикат равенства и предикат вхождения элемента в подполугруппу. Решается задача нахождения минимальной полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q. В качестве аппроксимационных гомоморфизмов мы будем рассматривать характеры, поэтому среди полугрупп для нашей задачи, очевидно, необходимо рассматривать только коммутативные полугруппы. Комплексным характером полугруппы называется гомоморфизм данной полугруппы в мультипликативную полугруппу, состоящую из всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и нуля. Цели работы - описание известных полугрупп аппроксимации, методов доказательства этого факта, выяснение вопросов существования и единственности минимальных полугрупп аппроксимации для некоторых классов и предикатов. Материалы и методы. В работе используются общие методы анализа и синтеза. Также используются специальные аппроксимационные методы, а именно метод построения гомоморфизма, метод разложения коммутативной регулярной полугруппы в полурешетку максимальных подгрупп, метод продолжения гомоморфизма подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы. Результаты. Для произвольного класса полугрупп определяется минимальная полугруппа аппроксимации относительно некоторого заданного предиката. В работе дан обзор известных результатов, указаны минимальные полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q, в частности, для класса коммутативных регулярных периодических полугрупп относительно предиката вхождения элемента в подполугруппу. Аппроксимация, по сути являясь приближением, позволяет заменить одни объекты другими, более компактными либо хорошо изученными. В данном случае, об истинностном значении предиката, заданного на некотором классе полугрупп, можно судить по его значению на соответствующих элементах минимальной полугруппы аппроксимации. Выводы. В статье приводится пример группы, для которой невозможно найти минимальную полугруппу аппроксимации. Также вопросы существования и единственности минимальной полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q решаются отрицательно. Однако в частных случаях минимальную полугруппу аппроксимации найти удается - приводятся примеры минимальных полугрупп аппроксимации с доказательством этого факта.