Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В настоящее время отсутствуют обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений при различных особенностях на концах сегмента [-1,1], на котором задано уравнение. В данной работе предложен и обоснован метод механических квадратур решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода при всех возможных особенностях на концах сегмента [-1,1]. Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа и теории приближения. Рассмотрены три известные класса решений гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода: класс решений, обращающихся в нуль на обоих концах сегмента [-1,1]; класс решений, обращающихся в бесконечность на обоих концах сегмента [-1,1]; класс решений обращающийся в нуль на одном конце сегмента [-1,1] и в бесконечность на другом. Приближенные решения уравнений ищутся в виде полиномов Чебышева первого и второго рода, а обоснование метода механических квадратур проводится на основе общей теории приближенных методов. Результаты. Построены три вычислительные схемы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Каждая вычислительная схема предназначена для решения гиперсингулярного интегрального уравнения с заранее заданными особенностями решений на концах сегмента [-1,1]. В работе получены оценки быстроты сходимости и погрешности методов. Выводы. Построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [-1,1]. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.