Проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В последнее время интерес к исследованию аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений значительно усилился в связи с активным применением методов фрактальной геометрии в радиотехнике и радиолокации. Оказалось, что одним из основных методов моделирования фрактальных антенн являются гиперсингулярные интегральные уравнения. В данной работе предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методы нулевого и первого порядков для решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах. Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа и теории приближения. Рассмотрены линейные одномерные и двумерные гиперсингулярные интегральные уравнения на фракталах. Для определенности в случае одномерного интеграла в качестве области интегрирования взято совершенное множество Кантора, в случае двумерного - ковер Серпинского. Построены проекционные вычислительные схемы, обоснование которых проводится на основе анализа логарифмических норм соответствующих матриц. Результаты. Построены три вычислительные схемы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах различного вида и размерности. Получены оценки быстроты сходимости и погрешности вычислительных схем. Построенные вычислительные схемы являются моделями для построения и обоснования вычислительных схем на фракталах различной природы. Выводы. Построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на модельных фракталах. В качестве модельных фракталов взято совершенное множество Кантора и ковер Серпинского. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании фрактальных антенн.