On the problem of recovering boundary conditions in the third boundary value problem for parabolic equation

Актуальность и цели. В последние десятилетия теория решения обратных и некорректных задач стала одним из важнейших и наиболее быстро развивающихся направлений современной математической науки. Актуальность этого направления обусловлена как существенно возросшим числом приложений обратных и некорректных задач в различных областях физики и техники, так и бурным развитием вычислительной техники. Известно, что большинство обратных задач математической физики принадлежит к классу некорректных задач, наиболее важным свойством которых является их неустойчивость относительно малых возмущений исходных данных задачи. Это свойство некорректных задач вызывает к жизни необходимость в разработке для их решения специальных методов регуляризации. Одним из важнейших классов обратных задач являются граничные обратные задачи. Обратная задача называется граничной, если требуется восстановить функцию, входящую в граничное условие задачи. Такие задачи возникают в случае, если непосредственные измерения характеристик теплового поля на границе области или ее части затруднены либо же вовсе невозможны. Построение численных методов решения таких задач вследствие большого числа их приложений в физике и технике является актуальной задачей. Материалы и методы. Предложен численный метод одновременного восстановления коэффициентов граничных условий в третьей краевой задаче для уравнения теплопроводности. В основе метода лежит непрерывный метод решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Сущность метода состоит в составлении и решении относительно неизвестных коэффициентов исходной задачи вспомогательной системы дифференциальных уравнений специального вида. Эту систему затем предлагается численно решать при помощи одного из приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Одновременное восстановление коэффициентов при помощи предлагаемого метода дополнительно требует знания значений решения исходного параболического уравнения в двух различных точках. Результаты. Построен численный метод решения задачи восстановления коэффициентов граничных условий в третьей краевой задаче для одномерного уравнения теплопроводности. Показана применимость непрерывного операторного метода к решению граничных обратных задач для параболических уравнений. Сходимость метода обосновывается с помощью теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Успешное решение модельного примера продемонстрировало эффективность предложенного метода. Выводы. Описан эффективный численный метод решения задачи восстановления коэффициентов граничных условий в третьей краевой задаче для линейного одномерного параболического уравнения. Ключевыми преимуществами метода являются его простота, универсальность, а также устойчивость к возмущениям исходных данных задачи. Представляет значительный теоретический и практический интерес обобщение предложенного метода на более широкий класс граничных задач, а также на случай многомерных и нелинейных параболических уравнений.