О сердцевине групповой три-ткани

Актуальность и цели. Дифференциальную геометрию многомерных три-тканей начал изучать в 1920-е гг. ХХ в. В. Бляшке, позднее С. Черн, М. А. Акивис и др. Особое место в теории многомерных три-тканей занимают ткани Бола, на которых естественным образом возникает структура симметрического пространства. Она определяется на базе одного из слоений ткани Бола с помощью некоторой бинарной операции, называемой сердцевиной этой ткани. В частности, такая операция возникает на групповой три-ткани $W(G)$, порождаемой группой Ли $G$. Сердцевина ткани Бола исследовалась в ряде работ, но ряд важных вопросов остался неизученным, в частности, не найден вид канонического разложения для сердцевины, не описаны ткани Бола с одной и той же сердцевиной. Цель настоящей работы - найти указанное каноническое разложение, описать свойства сердцевины групповой три-ткани, найти условия, характеризующие групповые три-ткани с изоморфными сердцевинами. Материалы и методы. Для изучения сердцевины тканей Бола применяются методы классической дифференциальной геометрии, тензорное исчисление, модифицированный метод внешних форм и подвижного репера Эли Картана, используется теория групп Ли и результаты предыдущих работ. Результаты. В работе найден канонический вид разложения в ряд Тейлора для сердцевины левой три-ткани Бола, вычислены соответствующие коммутатор и ассоциатор. Показано, как сердцевина групповой три-ткани $CW(G)$ выражается через групповую операцию в $G$ ; исходя из ряда Кэмпбелла - Хаусдорфа группы $G$ найдено разложение в ряд для сердцевины. Доказано, что сердцевина $CW(G)$ эквивалентна сердцевине исходной групповой три-ткани $W(G)$; симметрическая связность, определяемая сердцевиной на базе первого слоения ткани $W(G)$, совпадает с третьей связностью Эли Картана на группе Ли $G$; правые сдвиги в группе являются автоморфизмами ее сердцевины. Получены условия, при которых две групповые три-ткани имеют общую сердцевину. Доказано, что группа $G$ является нильпотентной высоты 1 тогда и только тогда, когда определяемая сердцевиной три-ткань $CW(G)$ является параллелизуемой. Рассмотрены сердцевины групповых три-тканей, порожденных группой аффинных преобразований на прямой и группой Гейзенберга. Выводы. Оказалось, что тензор кручения сердцевины равен нулю в единице e координатной лупы, но тензор кривизны, вообще говоря, в e нулю не равен. Найдены условия, при которых две групповые ткани имеют общую сердцевину, что позволяет в будущих работах более детально изучить вопрос о свойствах групповых три-тканей с общей сердцевиной.