Построение адаптивных разностных схем решения уравнения теплопроводности

Актуальность и цели. Задача распространения теплового поля занимает одно из центральных мест в целом ряде проблем физики и техники. Уравнения теплопроводности находят применение во многих областях физики и техники, среди которых можно, в частности, назвать геофизику, термодинамику, теорию диффузии и т.д. Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, их решения сложные и неоднородные по своим свойствам, часто вовсе не допускают аналитического представления, а процесс их решения оказывается весьма трудоемким. В связи с этим актуальной является разработка достаточно простых методов аппроксимации тепловых полей и решения соответствующих параболических уравнений, позволяющих наилучшим образом использовать возможности современной вычислительной техники. Наиболее привлекательными с этой точки зрения являются разностные методы благодаря их простоте и эффективности. Материалы и методы. Проводимое в настоящей статье построение явных разностных схем решения одномерного уравнения теплопроводности основывается на принадлежности тепловых полей функциональным классам специального вида, обозначенным как $P_{r, \gamma, \alpha} (D, M, M_1, a)$. Для этих классов в более ранней работе авторов были построены локальные сплайны, оптимальным по точности образом аппроксимирующие принадлежащие этим классам функции. Узлы этих локальных сплайнов используются в данной работе в качестве узлов неравномерных сеток узлов при построении адаптивных разностных схем решения уравнения теплопроводности. Результаты. Приведен краткий обзор более ранних результатов, касающихся классов $P_{r, \gamma, \alpha} (D, M, M_1, a)$, включающих в себя тепловые поля, а также построения локальных сплайнов, оптимальным по точности образом аппроксимирующих функции этого класса. На основе этих результатов подробно описано построение и применение адаптивных разностных схем приближенного решения уравнения теплопроводности. На конкретных примерах проведено сравнение аппроксимаций тепловых полей локальными сплайнами на равномерной и адаптивной сетках узлов, а также решения уравнения теплопроводности на упомянутых сетках узлов. Полученные результаты подтвердили эффективность построенных схем. Выводы. Авторами предложены устойчивые разностные схемы, обеспечивающие лучшую аппроксимацию тепловых полей при существенно меньших затратах вычислительных ресурсов. Результаты работы могут использоваться при численном моделировании широкого круга задач теплоразведки.