Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений

Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегральные уравнения являются активно развивающимся направлением математической физики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, квантовой физике, геофизике. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при решении граничных задач математической физики. В последнее время опубликован цикл работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на замкнутых и разомкнутых контурах интегрирования. Интерес к этим методам связан с непосредственными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к аэродинамике и электродинамике. В то же время отсутствуют аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и полигиперсингулярных интегральных уравнений. В данной статье предлагается метод аналитического решения одного класса гиперсингулярных интегральных уравнений и полигиперсингулярных интегральных уравнений. Этот метод позволяет более эффективно использовать гиперсингулярные интегральные уравнения в многочисленных приложениях. Материалы и методы. Используются методы теории сингулярных интегральных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Рассмотрены линейные и нелинейные одномерные гиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых контурах интегрирования, бигиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых гладких поверхностях. Метод основан на преобразовании гиперсингуляных и полигиперсингулярных интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям - обыкновенным и в частных производных. Результаты. Построен аналитический метод решения одного класса гиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых контурах интегрирования, и бигиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых гладких поверхностях. Выводы. Построен метод аналитического решения гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений. Этот метод позволяет при решении прикладных задач получить решения в виде, удобном для дальнейшего исследования. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики, электродинамики, гидродинамики, при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.