|
Математика
Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака
С. И. Митрохин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Аннотация:
Актуальность и цели. В работе предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами. Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Предполагается, что потенциал оператора является кусочно-суммируемой функцией на отрезке задания оператора. В точках разрыва потенциала требуется выполнение условий «склейки» для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. Исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке, с одним из видов разделенных граничных условий. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка получена асимптотика фундаментальной системы решений соответствующих дифференциальных уравнений. С помощью этой асимптотики изучены условия «склейки» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем изучены граничные условия исследуемого оператора. В результате выведено уравнение на собственные значения изучаемого оператора, которое представляет собой целую функцию. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным шеснадцатиугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы методом последовательных приближений Пикара найдена асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов. В предельном случае найденная асимптотика собственных значений стремится к асимптотике собственных значений оператора, потенциалом которого является дельта-функция Дирака. Материалы и методы. Асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми потенциалами при больших значениях спектрального параметра получена обобщенным методом Наймарка. Для нахождения корней уравнения на собственные значения изучаемого оператора методом Беллмана - Кука исследована индикаторная диаграмма, которая является правильным шеснадцатиугольником. Асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов в различных секторах индикаторной диаграммы найдена методом последовательных приближений Пикара. Результаты. Изучен спектр ранее не изучаемого семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. С учетом условия «склейки» в точках разрыва потенциалов доказано, что уравнение на собственные значения представляет собой квазиполином, корни которого можно найти методом Беллмана - Кука. Аналогичные результаты можно получить и для других видов разделенных граничных условий. Выводы. Полученные новые результаты об асимптотике спектра семейства дифференциальных операторов могут быть применены к исследованию базисности собственных функций аналогичных операторов, изучению функции Грина и вычислению формул регуляризованных следов операторов, последовательность потенциалов которых сходится к дельта-функции Дирака. Метод дельта-потенциалов применяется в физике для исследования короткодействующих примесей, дефектов в различных системах. В атомной и ядерной физике огромную популярность имеет модель точечных потенциалов, это подтверждает необходимость изучения операторов с дельта-потенциалами.
Ключевые слова:
дифференциальный оператор с разрывными коэффициентами, асимптотика решений дифференциального уравнения, кусочно-суммируемый потенциал, дельта-функция Дирака, асимптотика собственных значений, спектр оператора.
Образец цитирования:
С. И. Митрохин, “Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака”, Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2021, № 1, 20–38
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/ivpnz18 https://www.mathnet.ru/rus/ivpnz/y2021/i1/p20
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 62 | PDF полного текста: | 27 | Список литературы: | 8 |
|