Об одном методе вычисления ляпуновских величин для некоторых систем Льенара

Актуальность и цели. Задача нахождения максимального числа предельных циклов, возникающих в дифференциальном уравнении первого порядка, составляет вторую часть 16-й проблемы Гильберта. Она вызывает постоянный интерес у математиков уже более 100 лет. И хотя отдельные частные результаты решения этой проблемы известны, полностью решить ее пока не удалось. Целью данной работы является практическая реализация одного из методов вычисления ляпуновских величин, который был в общих чертах описан в работах Ллойда и Линча. Метод применяется для оценки максимального числа малоамплитудных предельных циклов в некоторых системах (уравнениях) Льенара. Материалы и методы. Ллойд и Линч доказали, что при разложении правых частей системы Льенара в ряды Тэйлора имеет место некоторое соотношение, зависящие от параметра k. Этот параметр непосредственно связан с возможным числом малоамплитудных предельных циклов, возникающих в системе. Мы предлагаем процедуру точного нахождения функции $F^*(u)$ (правой части уравнения) в виде ряда, члены которого определяются с помощью представления в виде полиномов Белла, согласно формуле Фаа ди Бруно. Результаты. Получена формула, которая позволяет найти ляпуновские величины произвольного порядка для некоторых систем Льенара с точностью до отрицательного множителя. Проведено сравнение вычислений с известными формулами и показана применимость предлагаемого метода для оценки числа малоамплитудных предельных циклов в системе Льенара. Выводы. Выполнена техническая реализация метода, изложенного в работе Линча, которая позволяет достаточно просто находить ляпуновские величины, что дает возможность оценить максимальное число малоамплитудных предельных циклов, возникающих из неподвижной точки системы Льенара.