Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами

Актуальность и цели. Существует большое число проблем как в физике и технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при исследовании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярных и гиперсингулярных) от быстроосциллирующих функций. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, в ядра которых входят быстроосциллирующие функции. Особое внимание уделяется построению оптимальных по точности (по порядку) квадратурных формул. Материалы и методы. В работе представлено два метода вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами. Один метод основан на преобразовании упомянутых интегралов к обыкновенным дифференциальным уравнениям и численному решению последних. Второй метод заключается в построении квадратурных формул интерполяционного типа. Для получения оценок снизу погрешности квадратурных формул на классах функций используется метод осреднения по равноотстоящим узлам. Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадратурные формулы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами на классах функций Гельдера и $W^r (M)$, где $r=1,2,...,M$ - положительная константа. Представлен алгоритм трансформации сингулярных и гиперсингулярных интегралов в обыкновенные дифференциальные уравнения. Выводы. Предложены методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами, которые могут быть использованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.