О типичных однородных векторных полях на плоскости

Актуальность и цели. Для приложений математики представляет интерес изучение динамических систем с симметрией. В статье рассматриваются векторные поля на плоскости, компоненты которых являются однородными функциями натуральной степени n . Их фазовые портреты инвариантны относительно группы растяжений плоскости. Целью работы является описание открытого и всюду плотного множества в банаховом пространстве $HF_n^r$ однородных векторных полей степени n, класса $C^{r}$ в $R^2 \{0\}$ ($r \geq 2, n \geq 2$). Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и проективной геометрии. Результаты и выводы. Вводится понятие грубого векторного поля $X\in HF_n^r$, топологическая структура фазового портрета которого не меняется при переходе к векторному полю, достаточно близкому к $X$ в $HF_n^r$ . Получены необходимые и достаточные условия грубости. Показано, что грубые однородные векторные поля типичны: они образуют в пространстве $HF_n^r$ открытое всюду плотное множество.