Многозначные решения уравнений диффузии и гидродинамика

Актуальность и цели. Основной целью работы является построение нового класса решений двумерного уравнения диффузии (теплопроводности), представляющих собой многозначные функции. Новые решения связываются с квазилинейными уравнениями первого порядка, которые имеют гидродинамическую аналогию в классе течений идеальной жидкости. Сравнивается классическая гидродинамическая аналогия диффузионного процесса с течением вязкой жидкости и новая аналогия с течением идеальной жидкости. Рассматривается общая роль точек ветвления в идентификации многозначных решений. Материалы и методы. Методом исследования является анализ решений уравнений диффузии, записанных в координатах на комплексной плоскости. Результаты. Найдены общие формулы вычисления точных многозначных решений двумерного уравнения диффузии на основе их связи с квазилинейными уравнениями первого порядка. Установлена новая гидродинамическая аналогия этих решений с течениями идеальной жидкости на плоскости. Приведены конкретные примеры решений для нескольких важных с практической точки зрения задач. Выводы. С помощью развитого в работе метода показано, что уравнения диффузии (теплопроводности) имеют в качестве решений многозначные функции, число листов которых определяется начальными условиями. Развитый метод дает новый подход к построению решений уравнений диффузии как классических, так и в классе многозначных функций.