Решение дифференциальных уравнений Клеро в частных производных с логарифмической функцией

Актуальность и цели. Особые решения уравнений типа Клеро в частных производных представляют определенный интерес в прикладных задачах. В недавних работах обсуждалась связь особого решения уравнения типа Клеро и эффективного действия в квантовой теории поля с составными операторами. Целью данной работы является описание метода нахождения особых решений для дифференциальных уравнений в частных производных типа Клеро, правая часть которой имеет вид логарифмической функции от произведения n независимых переменных. Материалы и методы. Предложена процедура нахождения особого решения уравнения типа Клеро для случая, когда функция от частных производных имеет вид логарифмической функции. Основная идея заключается в нахождении не частных производных искомой функции, а их произведений. Данный метод может быть применен для нахождения особых решений уравнений типа Клеро для некоторых функций, в которых эта структура сохраняется. Результаты. Изучена проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функция от производных представляет собой логарифм от произведения n независимых переменных. Отдельно обсуждается случай, когда все степени производных под знаком логарифма имеют одинаковое значение, а также подробно обсуждается вывод особого решения для уравнения в случае произвольных различных степеней. Полученные особые решения были вычислены для произвольного количества переменных и представляют собой основной результат работы. Выводы. Изученные уравнения типа Клеро представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных и являются обобщением хорошо известного обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Метод нахождения общего решения для уравнений данного типа подробно описан в литературе. Однако общего метода нахождения особого решения не существует. В данной статье описана проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных со специальной правой частью. Найдено особое решение уравнения типа Клеро, когда правая часть имеет вид логарифмической функции от произведения частных производных искомой функции и их степеней. Поиск особых решений для конкретных функций представляет собой перспективное направление для дальнейших исследований.