О численном решении коэффициентной обратной задачи для гиперболических уравнений

Актуальность и цели. Уравнения в частных производных гиперболического типа занимают одно из центральных мест в задачах математического моделирования различных процессов и явлений физики и техники. В частности, гиперболические уравнения широко применяются в таких областях, как акустика, теория упругости, аэро- и электродинамика. В настоящее время теория обратных и некорректных задач для уравнений математической физики, интенсивно развиваясь, находит все более широкое применение в самых различных прикладных областях. Вместе с тем имеется большая практическая потребность в дальнейшей разработке точных и устойчивых численных методов, позволяющих эффективно решать различные типы обратных задач. Целью данной работы является построение упомянутых методов решения одного класса коэффициентных обратных задач для простейших гиперболических уравнений, а именно волновых уравнений. Материалы и методы. Построение алгоритмов решения обратных начальных и граничных коэффициентных задач для одно- и двухмерного волнового уравнения основывается на применении непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Важной особенностью этого метода является то, что его реализация не предполагает построения обратного оператора. В основе метода лежит замена исходного нелинейного операторного уравнения на дифференциальное уравнение специального вида и его последующее приближенное решение с использованием методов теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты. Исследована проблема численного решения обратных коэффициентных задач для одно- и двухмерного волнового уравнения. Рассмотрена как задача Коши, так и начально-краевая задача для волнового уравнения. В результате предложены алгоритмы численного решения указанных задач. Решение модельных примеров продемонстрировало эффективность предложенных алгоритмов. Выводы. На основе непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений разработаны отличающиеся простотой и эффективностью алгоритмы численного решения обратных коэффициентных задач для волнового уравнения.